La prova di Gödel

Nel 1931 un giovane viennese, Kurt Gödel, diede alle stampe una breve memoria sulle "proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e sistemi affini". Increduli, logici e matematici assistettero al crollo del luminoso edificio hilbertiano, tutto basato sull'onnipotenza del metodo assiomatico. In quelle pagine, infatti, si dimostrava l'incompletezza di un'ampia classe di teorie formali, tra cui l'aritmetica, nonché l'impossibilità di provare all'interno delle teorie stesse la loro coerenza. Concepita per condurre il lettore al cuore dell'argomentazione di Gödel, la classica operetta di Nagel e Newman resta ancora oggi uno strumento insostituibile per accedere alle tecniche dell'analisi formale. Il contributo conclusivo di Girard, aggiunto alla presente edizione, affronta i delicati problemi di interpretazione posti dal teorema di Gödel e le sue implicazioni filosofiche più attuali. Capitoli: 1 Introduzione, 2 Il problema della coerenza, 3 Prove assolute di coerenza, 4 La codificazione sistematica della logica formale, 5 Un esempio di dimostrazione assoluta di coerenza, 6 L'idea della rappresentazione e il suo uso in matematica, 7 Le prove di Gödel, 8 Riflessioni conclusive, 9 Il sogno del segno o il fallimento del riduzionismo (a cura di Jean-Yves Girard). Libro interessantissimo, accessibile a tutti, e sufficientemente rigoroso, imperdibile per tutti coloro che studiano la matematica per passione (e non per professione).

Quando nel 1931,Kurt Gödel enunciò il teorema di incompletezza,egli riuscì a dimostrare che nella matematica esistono enunciati che sono veri, ma la cui verità non può mai essere dimostrata. Tali enunciati sono detti indecidibili, poiché prendono forma da assiomi aritmetici che contengono meno informazione di altri enunciati aritmetici, di fondamentale importanza per la determinazione di una loro verità o falsità. Se quindi, in fondo in fondo, una parte della matematica non è nient'altro che...un'opinione, non vedo per quale motivo non credere che anche l'intera esistenza (la nostra e dell'intero Universo) sia soltanto una sorta di organizzazione energetica prodotta ed elaborata da una Mente Divina e concepita dagli esseri umani solo approssimativamente, dalla quale trae origine una pseudorealtà che l'umanità è solita definire con il termine di realtà fisica e in cui solo ciò che è osservabile appartiene (secondo ogni comune mente umana) a tale realtà. A volte, anche ciò che ci appare ovvio, scontato, inconfutabile ma soprattutto „reale“ nel modo più assoluto, potrebbe anche non esserlo affatto. L'uomo potrebbe quindi anche non essere il frutto di un Divin Pensiero, bensì rappresentare, ovvero essere una piccola parte integrante di tale pensiero; poiché, in sostanza, noi tutti non rappresentiamo altro che forme complesse di energia, auto-organizzantesi... ma fino a un certo punto.