QED. Fenomenologia della dimostrazione

Tutti sappiamo che due più due fa quattro, ma pochi di noi sono in grado di dire perché. Si tratta, in effetti, di un'affermazione tutt'altro che scontata da un punto di vista matematico, valida soltanto all'interno di domini specifici e di cui è possibile dar ragione solo dopo aver dimostrato una serie di teoremi. L'ultimo libro di Lolli, il cui enigmatico titolo altro non è se non l'acronimo per Quod Erat Demonstrandum , formula di rito posta alla fine di tutte le dimostrazioni matematiche, non è l'ennesima storia di celebri teoremi, né la nuova biografia di un qualche genio dei numeri. Si tratta invece di un saggio sul processo dimostrativo in sé, argomento solitamente trascurato dall'insegnamento scolastico delle discipline matematiche. In effetti, sebbene l'intera attività dei matematici consista sostanzialmente nell'elaborazione, discussione e demolizione di dimostrazioni, la riflessione teorica sulla natura, le forme e i meccanismi dell'attività dimostrativa è sorprendentemente poco avanzata, e quello che accade tra i diversi passaggi resta un mistero per la maggior parte delle persone: "Nulla è più importante in matematica delle dimostrazioni e nulla è paradossalmente meno studiato".
L'idea alla base del libro è che la riflessione logico-filosofica sulla dimostrazione debba essere parte integrante dello studio della matematica, a tutti i livelli, in modo da ottenere maggiore consapevolezza dei risultati raggiunti e superiore confidenza con i metodi del pensiero deduttivo. Nel corso del tempo, da Euclide e Proclo a Cartesio, dalla logica moderna ai calcolatori, il concetto di dimostrazione ha assunto connotazioni e significati talmente diversi che è persino difficile darne una definizione univoca: " Una dimostrazione è una bolla di accompagnamento (...) Non la definiamo in modo più preciso perché non è possibile; non si può neanche dire come deve essere scritto il certificato, non ci sono moduli prestampati; forse non è neppure necessario che sia verbale".
Dopo un'introduzione storica e teorica all'argomento, il libro diventa un'appassionata carrellata di "bolle di accompagnamento", dimostrazioni di ogni genere e specie che vanno dai sillogismi ai ragionamenti informali, dalle dimostrazioni "per assurdo" a quelle "imprevedibili". Nel presentare le funzioni proprie delle dimostrazioni, le principali strategie di ragionamento e la varietà degli stili, Lolli naviga fra teoremi e assiomi con competenza e ironica disinvoltura, in un percorso trasversale rispetto alle singole discipline matematiche, tentando di avvicinare il lettore inesperto ai generali meccanismi del ragionamento logico.
Al termine della lettura, non semplice, di questo breve testo è impossibile restare insensibili al fascino dell'eleganza razionale dell'attività dimostrativa, dal lampo d'intuizione iniziale alla sua inevitabile e stringente conclusione, a volte così poco intuitiva da risultare sorprendente. A proposito: Lolli ci informa dell'esistenza di un popolo nelle isole Twantsie che ha nomi per numeri positivi soltanto fino a tre. Ciò dimostrerebbe che anche nel mondo reale, lontano dalle astratte lande metafisiche della matematica, due più due può anche non fare quattro. qed.

Andrea Gagliardi