Geometria. Vol. 1

recensione di Pedrini, C., L'Indice 1991, n. 2

Mancava finora in Italia un testo organico di geometria che, sebbene rivolto principalmente a studenti universitari, tenesse conto dei progressi scientifici di questa fondamentale parte della matematica. Fino alla fine degli anni cinquanta infatti la notevole produzione di dispense e testi universitari di geometria era sostanzialmente modellata sull'impostazione "classica" della geometria italiana, così come si era sviluppata nei primi decenni del secolo ad opera di grandi matematici quali Segre, Enriques e Castelnuovo. A partire dagli anni sessanta la situazione si è progressivamente modificata: da una parte la riforma del corso di laurea in matematica con l'introduzione di nuove discipline quali l'algebra imponeva un ripensamento complessivo dei programmi e quindi dei testi, dall'altra lo sviluppo della ricerca in geometria algebrica, ad opera soprattutto della scuola francese, richiedeva un nuovo livello di sintesi.
Come spesso accade, la mancanza di un progetto culturale adeguato alla svolta che si era determinata a livello della ricerca fece sì che si scegliesse di produrre testi relativi a singole parti (l'algebra lineare, la topologia) e si traducessero libri già affermati nelle università americane. Nella maggior parte dei casi si continuarono a usare vecchi testi italiani (magari con qualche aggiunta), appunti, dispense a carattere locale. Questo libro di Sernesi sceglie invece di trattare argomenti quali la geometria proiettiva e le curve algebriche piane, che sono trascurati in molte università italiane, o rinviati a corsi successivi.
L 'impostazione è moderna e rigorosa: si introducono preliminarmente vettori, matrici, determinanti e si passa quindi, prima di affrontare la geometria proiettiva, allo studio della geometria affine ed euclidea (capp. 1 e 2). L'unico difetto di questa prima parte del libro è un certo appesantimento nella trattazione, con l'introduzione di argomenti per lo più riguardanti altri corsi del primo anno. Forse sarebbe stato più opportuno inserire in appendice - così come è stato opportunamente fatto per alcune parti della teoria dei campi - ciò che non si riferisce strettamente agli aspetti geometrici (ad esempio definizione e proprietà dei gruppi).
La parte più significativa e originale del testo è, come abbiamo già osservato, quella relativa alla geometria proiettiva e alle curve algebriche piane (capp. 3 e 4). Pur rimanendo nell'ambito di una trattazione elementare, vengono introdotte le proprietà fondamentali dello spazio proiettivo su un corpo algebricamente chiuso e delle proiettività, mostrando attraverso numerosi esempi e teoremi classici, quali quello di Desargues e di Pappo-Pascal, tutta la "potenza " di una teoria che permette di risolvere le "anomalie" della geometria affine ed euclidea, fornendo una trattazione sia sintetica che analitica dei problemi.
Attraverso questa scelta di argomenti si perviene in modo del tutto naturale alla definizione "relativa" di una geometria, con ciò intendendo lo studio di proprietà invarianti rispetto a un fissato gruppo di trasformazioni dello spazio proiettivo. La geometria affine, quella della similitudine, la stessa geometria euclidea, non sono altro che l'insieme delle proprietà invarianti rispetto a particolari sottogruppi del gruppo delle proiettività. È questo il punto di vista del famoso "Programma di Erlangen" di F. Klein (1872) che costituì il punto di partenza dell'approccio moderno alla geometria, chiudendo definitivamente - dopo la "scoperta" delle geometrie non euclidee - l'epoca (durata vari secoli) dei falliti tentativi di dimostrare il V postulato di Euclide.
La parte sulle curve algebriche piane contiene, tra l'altro, la classificazione delle coniche nei vari contesti (affine, proiettivo ed euclideo), nel piano reale e in quello complesso, e alcuni risultati elementari ma significativi sulle cubiche. Si affrontano inoltre questioni cruciali, quali quelle della molteplicità di intersezione di due curve in un punto, fornendo la trattazione del caso elementare (intersezione curva-retta) ma accennando utilmente agli sviluppi della teoria necessari per trattare in maniera completa il problema.