Presidente ed editore di Farrar, Strauss & Giroux, una delle case editrici statunitensi più importanti, Galassi è conosciuto anche per la sua attività letteraria, avendo egli scritto alcuni libri di poesia e un romanzo (La musa, 2015).
Ha cominciato la sua carriera editoriale presso Houghton Mifflin, a Boston, passando poi alla Random House di New York, presso la quale ha lavorato fino al 1985.
Ha quindi scalato rapidamente i gradini in Farrar, Strauss & Giroux divenendone editor in chief due anni dopo.
Famoso anche come traduttore di poesia, Galassi è autore di traduzioni importanti di poeti italiani fra i quali citeremo Leopardi e Montale. È stato editor della poesia per la Paris Review of books nell'arco di dieci anni.
In gioventù ha studiato alla Phillip Exeter Academy, dove è cresciuto il suo interesse per la poesia, la scrittura e la letteratura. Si è poi laureato ad Harvard nel 1971.
Nato a Seattle, dove suo padre lavorava come avvocato al Dipartimento di giustizia, è cresciuto a Plympton, nel Massachusetts. Vive a Brooklyn. Sposato e divorziato, ha due figlie.