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recensione di Lolli, G., L'Indice 1985, n.10

"La drosofila è una piccola mosca, ma grande è il nostro interesse per essa... normalmente, questo moscerino è grigio, ha gli occhi rossi, è senza macchie, e ha le ali rotonde e lunghe. Ma ci sono anche moscerini con caratteristiche differenti: gialli invece che grigi... normalmente queste cinque caratteristiche son accoppiate".
Si tratta forse di un entomologo che scrive sui fondamenti della matematica? Vediamo: "In seguito ad incroci idonei, nella discendenza si registrano piccole variazioni da questi normali accoppiamenti, e precisamente in una ben definita percentuale costante. Per i numeri così trovati sperimentalmente, valgono gli assiomi euclidei della congruenza e gli assiomi (sul concetto geometrico) "stare tra"; quindi, le leggi dell'ereditarietà si ricavano come applicazione della congruenza lineare, cioè dei teoremi geometrici elementari sul trasporto dei segmenti" (pag. 303). Il titolo wildiano e giustificato, non si tratta di un entomologo, ma di Hilbert che illustra l'utilità del metodo assiomatico per le applicazioni della matematica.
David Hilbert (1862-1943) si può dire che è stato il più grande matematico nel trapasso dei due ultimi secoli, nonostante la concorrenza (Poincaré); e non solo per i suoi molteplici contributi, ma per la visione generale dallo sviluppo della matematica, testimoniata simbolicamente dall'elenco dei problemi che espose a Parigi nel 1900 e che hanno in effetti guidato lo sviluppo della ricerca per almeno ottanta anni. Ma ancora più importante è stato da parte di Hilbert l'aver impostato il problema dei fondamenti.
Hilbert vive in un periodo unico di esplosione scientifica; egli stesso ricorda (pag. 301) di essere stato testimone della scoperta dei raggi Rögnten, la radioattività di Curie, i quanti di Planck, la teoria della radioattività di Rutherford, la legge "hv" di Einstein, la spiegazione degli spettri di Bohr, la numerazione degli elementi di Moseley, la teoria della relatività, la disintegrazione dell'azoto, la costruzione degli elementi di Bohr, la teoria degli isotopi di Arton. La matematica non solo svolge un ruolo fondamentale in questo sviluppo ma, cresciuta essa stessa in modo impressionante, con il suo carattere sempre più astratto agisce anche sulle prospettive filosofiche e culturali, contribuendo all'esaurirsi della visione naturalistica della metà dell'Ottocento.
Hilbert lascia il segno innanzi tutto con una valorizzazione, e imposizione, del metodo assiomatico come forma moderna del pensiero matematico e scientifico: "per la trattazione teorica delle questioni delle scienze della natura esiste oggi un metodo generale che facilita comunque la precisione dell'impostazione del problema e aiuta a preparare la soluzione, e cioè il metodo assiomatico" (pag. 302). Questo per una scienza con più ambiziosi modelli esplicativi, una scienza che "oggi non insegna soltanto, come faceva la meccanica classica, a predeterminare dai dati del presente i movimenti futuri... ma mostra anche che proprio gli attuali stati reali della materia... sono conseguenza di leggi fisiche" (pag. 305).
Lo stesso vale per la matematica, e più in profondità perché c'è qualcosa di urgente da giustificare. La matematica moderna è ormai la matematica dell'infinito; ma "l'infinito non si trova mai realizzato; esso non è presente nella natura, n‚ è ammissibile come fondamento del nostro pensiero razionale" (pag. 266, e anche pag. 360 dove sono discussi i fenomeni tipo Zenone, la infinita divisibilità, e la sua natura di "concettualizzazione idealizzata"). "L'infinito, essendo proprio la negazione di uno stato che vige dovunque, è un'astrazione spaventosa - eseguibile soltanto con l'uso consapevole o inconsapevole del metodo assiomatico" (pag. 304). Nel caso della matematica il metodo assiomatico fornisce le premesse non solo per l'uso ma per la giustificazione dell'infinito: "l'operare con l'infinito può venir reso sicuro soltanto mediante il finito. All'infinito, piuttosto, resta soltanto il ruolo di idea... un concetto della ragione che oltrepassa ogni esperienza e con cui il concreto viene integrato nel senso della totalità, un'idea inoltre in cui noi possiamo avere fiducia senza esitazioni nel quadro fissato dalla teoria che io qui ho schizzato e sostenuto" (pag. 266).
La teoria di Hilbert non è una teoria filosofica, ma consiste nel progetto di dimostrare la non contradittorietà delle teorie matematiche che trattano l'infinito, e non naturalmente esibendo un loro modello, che è impossibile, ma con un procedimento originale che dà origine alla moderna logica matematica. Si tratta prima di formalizzare il ragionamento logico e le teorie matematiche, sfruttando e approfondendo le possibilità messe in luce dalle ricerche pionieristiche di Frege e Russell, e quindi di ragionare sul formalismo in termini rigorosi matematici, ma non infinitisti per dimostrare l'impossibilità di una configurazione concreta che sia una dimostrazione di una contraddizione.
Il saggio introduttivo di M.V. Abrusci illustra in modo molto utile le varie fasi di questo progetto, il suo sviluppo e arricchimento, i risultati ottenuti, la riformulazione in seguito ai teoremi di Gödel. La lettura diretta dei testi, tutti quelli dedicati da Hilbert ai fondamenti dal 1900 al 1931, non è difficile e serve a far giustizia di tanti luoghi comuni sul pensiero di Hilbert, incluso quello sul suo supposto formalismo.
I metodi che Hilbert vuole usare per ragionare sugli oggetti concreti che sono le derivazioni formali sono stati chiamati da lui finitisti: "la matematica, come ogni altra scienza, non può essere fondata mediante la sola logica; anzi, come precondizione per l'uso delle inferenze logiche e per lo svolgimento delle operazioni logiche, ci deve essere già dato qualcosa nella rappresentazione: certi oggetti concreti extra-logici che esistono intuitivamente come esperienze immediate prima di ogni pensiero. Se il ragionamento logico deve essere sicuro, questi oggetti devono essere completamente dominabili in tutte le loro parti, e insieme con gli oggetti la loro esibizione, la loro distinzione; il loro susseguirsi e il loro stare l'uno accanto all'altro sono dati in modo immediatamente intuitivo, come qualcosa che non è riducibile ancora a qualcos'altro n‚ richiede una riduzione" (pag. 267).
Non è difficile rilevare venature kantiane, esplicitamente ammesse (vedi ancora pag. 306), anche se "Kant ha largamente sopravvalutato il ruolo e l'estensione dell'apriori" (pag. 307), che Hilbert riduce alle minime capacità combinatorie sopra elencate.
Ma questa è solo la cornice filosofica; la sostanza è ben rappresentata in questo volume da una scelta di passi dall'opera "Grundlagen der Mathematik", scritta negli anni Trenta con Paul Bernays, dove si vede la nascita della logica moderna. La traduzione di questi passi è un utile servizio per la cultura italiana, perché questo è un testo poco letto, mai tradotto neanche in inglese, anche se tutti i suoi risultati sono passati, attraverso l'insegnamento, a costituire il fondamento concettuale della logica moderna: troviamo qui il calcolo proposizionale e il metodo delle valutazioni, i teoremi sulla risoluzione simbolica delle formule sistenziali, criteri di refutabilità, l'aritmetizzazione, il teorema aritmetizzato di completezza, i teoremi di Tarski e Gödel, lo studio delle definizioni ricorsive, e insomma tutto il quadro di riferimento degli studi di logica. Qui per la prima volta si respira aria contemporanea.
Questo strumento Hilbert l'ha creato non solo per necessità, per risolvere la questione di base della non contraddittorietà, ma anche intuendone le potenzialità per un complesso di ricerche nuove: "un importante e nuovo terreno di ricerca va aperto... dobbiamo fare del concetto stesso di dimostrazione specificamente matematica un oggetto di indagine, proprio come d'altronde l'astronomo deve prendere in considerazione il movimento della sua posizione, il fisico deve occuparsi della teoria della sua apparecchiatura, e il filosofo critica la stessa ragione" (pag. 188). "La questione della non contraddittorietà per i numeri naturali e per gli insiemi non è una questione isolata, ma appartiene a un grande ambito di questioni gnoseologiche tra le più difficili aventi tonalità specificamente matematiche:... cito la questione della "risolubilità" in linea di principio di "ogni problema matematico", la questione della "controllabilità" a posteriori del risultato di una ricerca matematica, e inoltre la questione relativa ad un criterio di semplicità per le dimostrazioni matematiche, la questione del rapporto tra "contenuto e formalismo" in matematica e in logica, e infine la questione della "decidibilità" di un problema matematico mediante un numero finito di operazioni. Non possiamo considerarci soddisfatti della assiomatizzazione della logica, finché non siano state comprese e chiarite nel loro complesso tutte le questioni di questo genere" (pag. 185). Da allora, come è noto, tali questioni sono state stabilmente studiate dalla logica, e chiarite, anche se non esaurite dal momento che con l'evolvere della matematica si arricchiscono di sempre nuovi significati.
Per una visione complessiva della personalità di Hilbert, e del suo lavoro nella mitica Göttingen, con i suoi colleghi, allievi, e aneddoti il lettore potrà rivolgersi con diletto alla biografia di Hilbert di Constance Reid, di imminente pubblicazione in Italia. Ma per capire la sua problematica e il suo influsso sulla cultura non c'è nulla di meglio di questi scritti, dove una rara e misconosciuta sensibilità filosofica si sposa con la duratura costruzione di nuovi strumenti di pensiero. Una bella lezione per "quelli che oggi atteggiandosi da filosofi e con tono di superiorità profetizzano il tramonto della cultura e si compiacciono dell'"ignorabimus". Per i matematici non esiste l'"ignorabimus", e a mio parere non esiste nemmeno per la scienza della natura" (pag. 311).